Senyal a l'enunciat: L'enunciat dóna un satèl·lit o planeta en òrbita circular i demana la seva energia cinètica, potencial o mecànica total. De vegades demana verificar la relació entre elles o calcular-ne una a partir d'una altra sense passar per la velocitat.

Les tres energies en òrbita circular

Per a un cos de massa $m$ en òrbita circular de radi $r$ al voltant d'una massa central $M$, la velocitat orbital compleix $v^2 = GM/r$. Substituint en les expressions generals d'$E_c$ i $E_p$:

$$E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\cdot\frac{GM}{r} = \frac{GMm}{2r}$$ $$E_p = -\frac{GMm}{r}$$ $$E_{mec} = E_c + E_p = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$$

Les tres relacions juntes, que convé tenir presents simultàniament:

$$E_{mec} = E_c + E_p = \frac{GMm}{2r} + \left(-\frac{GMm}{r}\right) = -\frac{GMm}{2r}$$

D'on s'extreuen les relacions entre elles:

$$E_c = -E_{mec} = \frac{GMm}{2r}, \qquad E_p = 2\,E_{mec} = -\frac{GMm}{r}$$

Interpretació física

L'energia mecànica en òrbita lligada és sempre negativa. Com més negativa, més fortament lligat està el cos — les òrbites baixes tenen $E_{mec}$ més negativa que les altes. Paradoxalment, en pujar a una òrbita més alta l'$E_{mec}$ augmenta (es fa menys negativa), tot i que el satèl·lit vagi més a poc a poc.

Aquestes relacions són conseqüència del teorema del virial i serveixen com a comprovació ràpida: si $|E_{mec}| \neq |E_p|/2$, hi ha un error en el càlcul.

Exemple resolt

L'ISS té una massa de $4{,}2\cdot10^5$ kg i orbita a 405 km d'altura. Calcula la seva energia cinètica, potencial i mecànica total.

Dades: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}$ N·m²/kg², $M_T = 5{,}97\cdot10^{24}$ kg, $R_T = 6{,}371\cdot10^6$ m.

1. Radi orbital:

$$r = R_T + h = 6{,}371\cdot10^6 + 0{,}405\cdot10^6 = 6{,}776\cdot10^6 \ \text{m}$$

2. Energia cinètica:

$$E_c = \frac{GM_T m}{2r} = \frac{(6{,}67\cdot10^{-11})(5{,}97\cdot10^{24})(4{,}2\cdot10^5)}{2\,(6{,}776\cdot10^6)} \approx 1{,}23\cdot10^{13} \ \text{J}$$

3. Energia potencial:

$$E_p = -\frac{GM_T m}{r} = -2\,E_c \approx -2{,}47\cdot10^{13} \ \text{J}$$

4. Energia mecànica total:

$$E_{mec} = E_c + E_p = 1{,}23\cdot10^{13} - 2{,}47\cdot10^{13} \approx -1{,}24\cdot10^{13} \ \text{J}$$

Verificació: $E_{mec} = -E_c = -1{,}23\cdot10^{13}$ J ✓ (llevat d'arrodoniment).