Senyal a l'enunciat: L'enunciat descriu una òrbita el·líptica amb dades de distància i velocitat al periheli o a l'afeli, i demana calcular la velocitat o la distància a l'altre extrem. També apareix com a pregunta teòrica demanant enunciar les lleis.

1a llei — Llei de les òrbites

Cada planeta descriu una el·lipse al voltant del Sol, que ocupa un dels dos focus. És una llei geomètrica: descriu la forma de la trajectòria, no la velocitat ni el temps.

Els dos punts extrems de l'òrbita el·líptica tenen noms propis. El periheli és el punt més proper al focus ocupat pel Sol (distància mínima $r_p$); l'afeli és el més llunyà (distància màxima $r_a$). Per a satèl·lits terrestres s'anomenen perigeu i apogeu respectivament.

El semieix major $a$ de l'el·lipse és la semisuma de les dues distàncies extremes:

$$a = \frac{r_p + r_a}{2}$$

Les òrbites circulars són un cas particular d'el·lipse amb $r_p = r_a = r$ i excentricitat zero.

2a llei — Llei de les àrees

El radi vector que uneix el Sol amb un planeta escombra àrees iguals en temps iguals. La seva conseqüència directa: el planeta es mou més ràpidament al periheli (més a prop del Sol) i més a poc a poc a l'afeli (més lluny).

Aquesta llei és matemàticament equivalent a la conservació del moment angular. En els dos punts extrems de l'òrbita — periheli i afeli — la velocitat és perpendicular al radi vector, cosa que simplifica l'expressió del moment angular a:

$$L = m v_p r_p = m v_a r_a$$

La massa $m$ es cancel·la i queda l'expressió operativa:

$$v_p \cdot r_p = v_a \cdot r_a$$

Donats tres dels quatre valors, el quart s'aïlla directament.

Exemple resolt

Un cometa té una òrbita el·líptica al voltant del Sol. Al periheli està a $r_p = 8{,}0\cdot10^{10}$ m i la seva velocitat és $v_p = 54{,}0\cdot10^3$ m/s. A l'afeli està a $r_a = 6{,}0\cdot10^{12}$ m. Calcula la velocitat a l'afeli i el semieix major de l'òrbita.

1. Apliquem la conservació del moment angular:

$$v_a = \frac{v_p \cdot r_p}{r_a} = \frac{(54{,}0\cdot10^3)(8{,}0\cdot10^{10})}{6{,}0\cdot10^{12}} = \frac{4{,}32\cdot10^{15}}{6{,}0\cdot10^{12}} = 720 \ \frac{\text{m}}{\text{s}}$$

2. Semieix major:

$$a = \frac{r_p + r_a}{2} = \frac{8{,}0\cdot10^{10} + 6{,}0\cdot10^{12}}{2} = \frac{6{,}08\cdot10^{12}}{2} \approx 3{,}04\cdot10^{12} \ \text{m}$$

El cometa va 75 vegades més ràpid al periheli que a l'afeli, coherent amb el fet que l'afeli està exactament 75 vegades més lluny ($r_a/r_p = 6{,}0\cdot10^{12}/8{,}0\cdot10^{10} = 75$). ✓