Senyal a l'enunciat: Et donen l'equació del moviment d'un oscil·lador o les seves condicions inicials i demanen la posició, velocitat o acceleració en un instant donat, o demanen interpretar els paràmetres de l'equació.

L'equació del moviment

El MHS és el moviment d'una partícula l'acceleració de la qual és proporcional al desplaçament i de sentit contrari. La solució general es pot escriure amb cosinus o amb sinus — ambdues són igualment vàlides i l'elecció depèn de les condicions inicials:

$$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0) \qquad \text{o} \qquad x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$$

on $A$ és l'amplitud (desplaçament màxim, sempre positiu), $\omega$ és la freqüència angular en rad/s, i $\varphi_0$ és la fase inicial que fixa la posició en $t = 0$.

Velocitat i acceleració

Derivant la posició respecte al temps (utilitzant la forma cosinus):

$$v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \varphi_0)$$ $$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x(t)$$

La relació $a = -\omega^2 x$ és la definició del MHS: l'acceleració és sempre proporcional al desplaçament i apunta cap a l'equilibri. Els valors màxims són:

$$v_{max} = A\omega \qquad a_{max} = A\omega^2$$

La velocitat és màxima quan $x = 0$ (equilibri) i nul·la en $x = \pm A$ (extrems). L'acceleració és màxima als extrems i nul·la a l'equilibri.

Condicions inicials i elecció de la funció

L'elecció entre sinus i cosinus — i el valor de $\varphi_0$ — es determina a partir de l'estat en $t = 0$:

• Partícula a l'extrem positiu: $x(0) = A$, $v(0) = 0$ → utilitzar $x = A\cos(\omega t)$.
• Partícula a l'equilibri movent-se en sentit positiu: $x(0) = 0$, $v(0) > 0$ → utilitzar $x = A\sin(\omega t)$.
• Partícula a l'extrem negatiu: $x(0) = -A$, $v(0) = 0$ → utilitzar $x = -A\cos(\omega t)$ o $x = A\cos(\omega t + \pi)$.

En general, si es parteix d'una posició arbitrària $x_0$ amb velocitat $v_0$, es pot utilitzar la forma cosinus amb $A = \sqrt{x_0^2 + (v_0/\omega)^2}$ i $\varphi_0 = \arctan(-v_0/(\omega x_0))$.

📐 Diagrama: tres gràfiques superposades en funció del temps. $x(t)$ en blau (cosinus), $v(t)$ en verd (sinus negatiu, desfasat $\pi/2$ respecte a $x$), $a(t)$ en vermell (cosinus negatiu, en oposició de fase amb $x$). Amplituds $A$, $A\omega$ i $A\omega^2$ marcades a l'eix vertical. Línies verticals puntejades assenyalant els instants on $v = 0$ (extrems de $x$) i on $|v| = v_{max}$ (creuaments per zero de $x$).