Sistemes lineals i mètode de Gauss

Temari

Sistemes 2×2Mètode de GaussClassificació de sistemesDiscussió paramètrica

Senyal a l'enunciat: Tens dos productes, preus, quantitats o mesures

relacionades i l'enunciat demana "trobeu les dues incògnites",

"resoleu el sistema" o "calculeu x i y".

Mètodes directes per a sistemes 2×2

Un sistema de dues equacions amb dues incògnites té la forma:

Hi ha tres mètodes equivalents. Escull el que s'adapti millor als coeficients del problema:

Mètode de substitució

Aïlla una incògnita d'una equació i substitueix a l'altra. Funciona bé quan un

coeficient és 1 o −1.

MATEMÀTIQUES CCSS

Temari

Tots els blocs i temes de l'assignatura

Àlgebra(3 temes)

Funcions i anàlisi(2 temes)

Probabilitat i estadística(4 temes)

Programació lineal

Temari

Senyal a l'enunciat: Un text amb quantitats relacionades (preus, mescles, produccions, taxes) i la petició de "plantejeu un sistema", "formuleu les equacions" o directament "resoleu el problema". La primera fase és convertir el text en matemàtiques.

Les tres fases de la modelització

La resolució d'un problema de text sempre segueix el mateix camí:

Fase 1 — Definir les variables

Assigna una lletra a cada magnitud desconeguda. Escriu explícitament: "Sigui $x$ = [unitat concreta] i $y$ = [unitat concreta]".

No defineixis variables vagament com " $x$ = producte A". Escriu: " $x$ = nombre d'unitats produïdes del producte A per setmana".

Fase 2 — Traduir les relacions a equacions

Cada frase del problema que descriu una relació entre magnituds es converteix en una equació. Identifica les paraules clau:

Paraula clau	Significat algebraic
"en total", "la suma"	$x + y = k$
"el doble de", "dues vegades"	$2x$ o $2y$
"el $p$ % de"	$\frac{p}{100} \cdot x$
"la diferència entre"	$x - y$ o $y - x$
"costa [preu] per unitat"	coeficient en l'equació de cost

Fase 3 — Verificar la coherència

Abans de resoldre, comprova:

El nombre d'equacions ha de coincidir amb el nombre d'incògnites.
Les unitats a cada costat de cada equació han de ser les mateixes.
Les equacions han de representar fets independents (no la mateixa informació formulada de dues maneres).

Exemple resolt

Una empresa fabrica dos productes, $A$ i $B$ . Cada unitat de $A$ requereix 2 hores de producció i cada unitat de $B$ en requereix 3. En total es disposa de 120 hores setmanals. A més, la suma de les unitats produïdes d'ambdós productes ha de ser 50. Planteja el sistema.

Fase 1 — Variables:

$x$ = nombre d'unitats del producte $A$ fabricades per setmana
$y$ = nombre d'unitats del producte $B$ fabricades per setmana

Fase 2 — Equacions:

Hores de producció: $2x + 3y = 120$
Total d'unitats: $x + y = 50$

Sistema resultant:

$\begin{cases} 2x + 3y = 120 \\ x + y = 50 \end{cases}$

Fase 3 — Coherència: 2 equacions, 2 incògnites. La primera mesura hores (esq. = $2x + 3y$ en hores, dreta = 120 hores ✓). La segona mesura unitats (esq. = $x + y$ en unitats, dreta = 50 unitats ✓). Les equacions venen de fets independents ✓.

Resolució (substitució): De la 2a: $x = 50 - y$ . Substituint: $2(50-y) + 3y = 120 \Rightarrow 100 + y = 120 \Rightarrow y = 20$ , $x = 30$ .

← Tornar al temari