Senyal a l'enunciat: Tens dos productes, preus, quantitats o mesures relacionades i l'enunciat demana "trobeu les dues incògnites", "resoleu el sistema" o "calculeu $x$ i $y$". Normalment el sistema té solució única i es resol directament sense Gauss.

Mètodes directes per a sistemes 2×2

Un sistema de dues equacions amb dues incògnites té la forma:

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

Hi ha tres mètodes equivalents. Escull el que s'adapti millor als coeficients del problema:

Mètode de substitució

1. D'una equació, aïlla una de les incògnites: $x = \dfrac{c_1 - b_1 y}{a_1}$.
2. Substitueix l'expressió a l'altra equació. Obtens una equació amb una sola incògnita.
3. Resol per trobar la primera incògnita, i substitueix per trobar la segona.

Quan usar-lo: Quan un dels coeficients és 1 o -1 — l'aïllament és immediat sense fraccions.

Mètode d'igualació

1. D'ambdues equacions, aïlla la mateixa incògnita.
2. Iguala les dues expressions.
3. Resol l'equació resultant.

Quan usar-lo: Quan els dos coeficients de la mateixa incògnita son iguals o oposats, o quan ambdues equacions aïllen fàcilment.

Mètode de reducció (eliminació)

1. Multiplica les equacions per escalars de manera que els coeficients d'una incògnita siguin oposats.
2. Suma les dues equacions — la incògnita desapareix.
3. Resol per a la incògnita restant i substitueix per trobar l'altra.

Quan usar-lo: Quan els coeficients comparteixen factors o l'eliminació directa és visible.

Procediment general

1. Identifica quin mètode és més ràpid per als coeficients donats.
2. Obté la primera incògnita.
3. Substitueix a qualsevol de les dues equacions originals per obtenir la segona.
4. Verifica: substitueix els dos valors en l'equació que no has usat. Ha de ser certa.

Exemple resolt

Un alumne compra 3 bolígrafs i 2 llibretes per 7,50 € i el dia següent compra 1 bolígraf i 4 llibretes per 9,50 €. Quin és el preu de cada article?

Definim les variables: $b$ = preu d'un bolígraf (€), $l$ = preu d'una llibreta (€).

$\begin{cases} 3b + 2l = 7{,}50 \\ b + 4l = 9{,}50 \end{cases}$

Mètode de substitució: De la segona equació: $b = 9{,}50 - 4l$.

Substituïm a la primera:

$3(9{,}50 - 4l) + 2l = 7{,}50 \implies 28{,}50 - 12l + 2l = 7{,}50 \implies -10l = -21 \implies l = 2{,}10$

Substituïm per trobar $b$:

$b = 9{,}50 - 4 \cdot 2{,}10 = 9{,}50 - 8{,}40 = 1{,}10$

Verificació: $3(1{,}10) + 2(2{,}10) = 3{,}30 + 4{,}20 = 7{,}50$ ?

Resultat: El bolígraf val 1,10 € i la llibreta 2,10 €.