Senyal a l'enunciat: "Calculeu $f'(x)$", "deriveu la funció", o qualsevol exercici que demani extrems, optimització o recta tangent — tots requereixen derivar com a primer pas.

Taula de derivades elementals

Les funcions que apareixen a la PAU CCSS:

📝 Nota CCSS: A les PAU de CCSS NO apareixen derivades de funcions trigonomètriques. Totes les funcions son polinòmiques, racionals, exponencials o logarítmiques.

Regles de combinació

Linealitat: $(c \cdot f + d \cdot g)' = c \cdot f' + d \cdot g'$

Regla del producte: $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$

Regla del quocient: $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' g - f g'}{g^2}$

Regla de la cadena: $[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

La cadena s'aplica sempre que una funció contingui una altra com a argument. La drecera: "derivada de l'exterior · derivada de l'interior".

Exemples amb funcions econòmiques (CCSS)

A les PAU CCSS, sovint la funció representa un cost $C(x)$, un benefici $B(x)$ o uns ingressos $I(x)$, on $x$ és la quantitat produïda o venuda.

Exemple 1: funció de cost $C(x) = 0{,}5x^2 + 3x + 100$

$C'(x) = x + 3$ (cost marginal: variació del cost per unitat addicional produïda)

Exemple 2: funció amb exponencial $f(x) = x \cdot e^{-x}$

Apliquem la regla del producte: $f = x$, $g = e^{-x}$ $f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$

Exemple 3: regla de la cadena amb logaritme $f(x) = \ln(x^2 + 1)$

Exterior: $\ln(\cdot)$, interior: $g(x) = x^2 + 1$, $g'(x) = 2x$ $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$

Exemple 4: regla del quocient $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x + 2}$

$f'(x) = \frac{2x(x+2) - (x^2-1) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{2x^2 + 4x - x^2 + 1}{(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 1}{(x+2)^2}$

PAU CCSS — funcions habituals que cal saber derivar

• Polinomis: $ax^3 + bx^2 + cx + d$ → regla de la potència
• Racionals: $\frac{ax+b}{cx+d}$ → regla del quocient
• $ae^{bx}$ → regla de la cadena
• $\ln(ax+b)$ → regla de la cadena
• $xe^{-x}$, $x \ln x$ → regla del producte