Senyal a l'enunciat: Et demanen el domini de $f(x)$, els zeros de la funció, el signe (on és positiva/negativa), la imatge d'un punt o la antiimatge d'un valor. Apareix sempre a l'apartat inicial de "Estudieu la funció...".

Domini d'una funció

El domini de $f(x)$ és el conjunt de valors de $x$ per als quals la funció està definida. Els obstacles habituals a la PAU CCSS:

1. Denominador nul: $f(x) = \dfrac{x+2}{x^2 - 4}$ → cal excloure $x^2 - 4 = 0$, és a dir $x = \pm 2$. $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$

2. Logaritme d'un nombre negatiu o zero: $f(x) = \ln(x - 3)$ → cal que $x - 3 > 0$, és a dir $x > 3$. $\text{Dom}(f) = (3, +\infty)$

3. Funció a trossos: el domini és la unió dels intervals de cada tros.

Per a una funció polinòmica el domini sempre és $\mathbb{R}$.

Zeros de la funció

Els zeros de $f$ (o arrels) són els valors $x_0$ tals que $f(x_0) = 0$. Per trobar-los, iguala el numerador a zero (si hi ha fracció) o la funció sencera a zero.

Signe de la funció

El signe indica on $f(x) > 0$ (positiva) i on $f(x) < 0$ (negativa). Per determinar-lo:

1. Troba els zeros i els punts on la funció no existeix.
2. Pren un punt de prova a cada interval resultant.
3. Avalua el signe de $f$ en aquell punt.

Imatge i antiimatge

• Imatge de $a$: $f(a)$ — substitueix $x = a$ i calcula el valor.
• Antiimatge de $b$: el conjunt de $x$ tals que $f(x) = b$ — resol l'equació $f(x) = b$.

Funcions definides per trossos

Una funció a trossos assigna una expressió diferent a cada interval del domini:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x \leq 0 \\ 2x + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Per avaluar $f(-2)$: com $-2 \leq 0$, fem servir la primera branca: $f(-2) = (-2)^2 - 1 = 3$. Per avaluar $f(3)$: com $3 > 0$, fem servir la segona: $f(3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$.

Exemple resolt (PAU CCSS típic)

Estudia el domini, els zeros i el signe de $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 1}$.

Domini: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ s'exclou. Dom$(f) = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Zeros: numerador igual a zero: $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$.

Signe: els punts clau divideixen $\mathbb{R}$ en intervals: $(-\infty,-2)$, $(-2,1)$, $(1,2)$, $(2,+\infty)$.

• $x = -3$: $f(-3) = \frac{9-4}{-4} = \frac{5}{-4} < 0$ → negatiu a $(-\infty,-2)$.
• $x = 0$: $f(0) = \frac{-4}{-1} = 4 > 0$ → positiu a $(-2,1)$.
• $x = 1{,}5$: $f(1{,}5) = \frac{2{,}25-4}{0{,}5} = \frac{-1{,}75}{0{,}5} < 0$ → negatiu a $(1,2)$.
• $x = 3$: $f(3) = \frac{9-4}{2} = \frac{5}{2} > 0$ → positiu a $(2,+\infty)$.