Senyal a l'enunciat: "Construïu un interval de confiança del 95% per a la mitjana", "amb un nivell de confiança del 90%...", "estimeu la mitjana poblacional a partir d'una mostra de $n$ elements". La substitució correcta a la fórmula val 1 punt a la PAU CCSS.

La fórmula

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

On:

• $\bar{x}$: mitjana mostral (la mitjana de la mostra — donada a l'enunciat).
• $\sigma$: desviació típica poblacional (donada o estimada per la mostra).
• $n$: mida de la mostra (nombre d'individus).
• $z_{\alpha/2}$: valor crític — el valor de $z$ corresponent al nivell de confiança.

Valors crítics $z_{\alpha/2}$

Aquests valors venen de la taula normal: per a NC = 95%, busquem $z$ tal que $\Phi(z) = 0{,}975$ → $z = 1{,}96$.

Interpretació correcta

"L'interval de confiança al 95% per a la mitjana és $(a, b)$" significa:

"Si repetíssim el procés moltes vegades, el 95% dels intervals construïts de la mateixa manera contindrien la mitjana poblacional real."

NO vol dir: "La probabilitat que $\mu$ estigui dins de $(a, b)$ és 0,95". La mitjana poblacional $\mu$ és un valor fix (no una variable aleatòria) — o hi és o no hi és.

Procediment pas a pas

Pas 1 — Llegeix les dades: $\bar{x} = ...$, $\sigma = ...$ (o $s = ...$), $n = ...$, NC = ...%.

Pas 2 — Identifica $z_{\alpha/2}$ a partir del nivell de confiança.

Pas 3 — Calcula el marge d'error: $E = z_{\alpha/2} \cdot \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Pas 4 — Escriu l'interval: $(\bar{x} - E, \; \bar{x} + E)$

Exemple resolt (estil PAU CCSS)

"D'una mostra de 100 alumnes, la mitjana d'hores d'estudi setmanals és $\bar{x} = 12{,}5$ h, amb desviació típica $\sigma = 3$ h. Construïu un IC al 95% per a la mitjana poblacional."

Pas 1 — Dades: $\bar{x} = 12{,}5$, $\sigma = 3$, $n = 100$, NC = 95%.

Pas 2 — Valor crític: NC = 95% → $z_{0{,}025} = 1{,}96$.

Pas 3 — Marge d'error: $E = 1{,}96 \cdot \frac{3}{\sqrt{100}} = 1{,}96 \cdot \frac{3}{10} = 1{,}96 \cdot 0{,}3 = 0{,}588$

Pas 4 — Interval: $\bar{x} - E = 12{,}5 - 0{,}588 = 11{,}912$ $\bar{x} + E = 12{,}5 + 0{,}588 = 13{,}088$

Resultat: IC$_{95\%}(\mu) = (11{,}912; \; 13{,}088)$

Interpretació: "Amb un 95% de confiança, la mitjana poblacional d'hores d'estudi setmanals es troba entre 11,9 i 13,1 hores."

Criteri PAU: La PAU valora "interpretació correcta de la fórmula i substitució correcta" per 1 punt. Escriu TOTS els passos numèricament. El resultat final val 0,5 punts addicionals.