Señal en el enunciado: Te dan una o varias matrices con números o parámetros y piden calcular una combinación de operaciones: suma, producto, transpuesta o multiplicación por escalar. También aparece en forma de "calcula $2A - B^T$" o "comprueba que $A^2 - 3A = I$".

Las cuatro operaciones

Suma $A + B$: Solo existe si $A$ y $B$ tienen el mismo orden. Sumas elemento a elemento: $(A+B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$.

Producto por escalar $kA$: Sin restricciones de orden. Multiplicas cada elemento por $k$: $(kA)_{ij} = k \cdot a_{ij}$.

Transpuesta $A^T$: Conviertes filas en columnas: el elemento $a_{ij}$ pasa a la posición $(j,i)$. El orden $m \times n$ se convierte en $n \times m$.

Producto $AB$: El producto existe solo si el número de columnas de $A$ coincide con el número de filas de $B$. Si $A$ es $m \times p$ y $B$ es $p \times n$, el resultado es $m \times n$:

$$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} \cdot b_{kj}$$

Es decir: fila $i$ de $A$ multiplicada elemento a elemento por columna $j$ de $B$, sumando los productos.

El producto no es conmutativo. $AB \neq BA$ en general — a veces ni siquiera existe en los dos sentidos. Siempre comprueba las dimensiones antes de operar.

Procedimiento para expresiones combinadas

1. Identifica cada operación en la expresión: escalares, sumas, productos, transpuestas.
2. Comprueba compatibilidad de dimensiones para cada producto y suma.
3. Calcula en el orden correcto: paréntesis primero, luego de dentro hacia fuera.
4. Si hay transpuesta, aplícala al resultado parcial antes de continuar.

Ejemplo resuelto

Dadas:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$

Calcula $AB$ y comprueba si $AB = BA$.

1. Verificamos dimensiones: $A$ es $2\times2$ y $B$ es $2\times2$, el producto existe en ambos sentidos.

2. Calculamos $AB$: cada elemento $(i,j)$ es la fila $i$ de $A$ por la columna $j$ de $B$:

$$AB = \begin{pmatrix} 1\cdot(-1)+2\cdot2 & 1\cdot4+2\cdot1 \\ 0\cdot(-1)+3\cdot2 & 0\cdot4+3\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 3 \end{pmatrix}$$

3. Calculamos $BA$:

$$BA = \begin{pmatrix} (-1)\cdot1+4\cdot0 & (-1)\cdot2+4\cdot3 \\ 2\cdot1+1\cdot0 & 2\cdot2+1\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 10 \\ 2 & 7 \end{pmatrix}$$

4. Comparamos: $AB = \begin{pmatrix}3&6\\6&3\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}-1&10\\2&7\end{pmatrix} = BA$.

Resultado: $AB \neq BA$. El producto matricial no es conmutativo.