Senyal a l'enunciat: Et demanen "discutiu el sistema segons el valor del paràmetre $k$", "classifiqueu el sistema" o "estudieu per a quins valors el sistema té solució única". La clau és decidir si el sistema té solució única, infinites solucions o cap.

El Teorema de Rouché-Frobenius

Tot sistema $AX = B$ amb $n$ incògnites es classifica comparant el rang de la matriu de coeficients $A$ amb el rang de la matriu ampliada $[A \mid B]$:

• Si $\text{rg}(A) \neq \text{rg}[A \mid B]$ ? sistema incompatible (SI): cap solució.
• Si $\text{rg}(A) = \text{rg}[A \mid B] = n$ ? sistema compatible determinat (SCD): solució única.
• Si $\text{rg}(A) = \text{rg}[A \mid B] < n$ ? sistema compatible indeterminat (SCI): infinites solucions, amb $n - \text{rg}(A)$ paràmetres lliures.

El primer pas pràctic és calcular $\det(A)$, perquè orienta tot el que segueix:

• Si $\det(A) \neq 0$ ? els rangs de $A$ i $[A \mid B]$ són ambdós $n$ automàticament: el sistema és SCD.
• Si $\det(A) = 0$ ? cal escalonar la matriu ampliada $[A \mid B]$ amb Gauss i comparar els rangs per decidir entre SCI i SI.

Estudi paramètric

Quan el sistema conté un paràmetre $k$, la classificació s'ha de fer per a tots els valors possibles:

1. Calcular $\det(A(k))$ com a polinomi en $k$.
2. Igualar a zero i resoldre: els valors obtinguts són els valors crítics, on el comportament del sistema pot canviar.
3. Cas general ($\det(A) \neq 0$): el sistema és SCD directament.
4. Cada valor crític per separat: substituir $k = k_0$ i aplicar Gauss a $[A(k_0)|B]$ per determinar si el sistema resulta SCI o SI.

El resultat es presenta sempre en forma de cas:

$\begin{cases} \text{SCD} & \text{si } k \neq k_1,\, k_2 \\ \text{SI o SCI} & \text{si } k = k_1 \\ \text{SI o SCI} & \text{si } k = k_2 \end{cases}$

Procediment

1. Escriu la matriu de coeficients $A$ i la matriu ampliada $[A \mid B]$.
2. Calcula $\det(A(k))$ com a polinomi en $k$ i iguala a zero per trobar els valors crítics.
3. Escriu el cas general: per a $k$ distint dels valors crítics, $\det \neq 0$ ? SCD.
4. Per a cada valor crític: substitueix i escalonaments Gauss ? compara rangs ? SCI o SI.
5. Escriu el resultat en forma de casos (tots els valors de $k$ han de quedar coberts).

$\det(A) = 0$ NO implica sistema incompatible. Quan el determinant s'anul·la, el sistema pot ser SCI o SI: has d'escalonar $[A \mid B]$ i comparar rangs. Concloure directament SI és un error clàssic d'examen.

Exemple resolt

Classifica el sistema segons el valor del paràmetre $k$:

$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + ky + 2z = k \\ x + y + kz = 3 \end{cases}$

1. Calculem el determinant de la matriu de coeficients:

$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & k & 2 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix}$

Desenvolupant per la primera fila:

$= 1\cdot(k^2 - 2) - 1\cdot(2k - 2) + 1\cdot(2 - k) = k^2 - 2 - 2k + 2 + 2 - k = k^2 - 3k + 2$

2. Igualem a zero: $k^2 - 3k + 2 = (k-1)(k-2) = 0$. Valors crítics: $k = 1$ i $k = 2$.

3. Cas general ($k \neq 1$ i $k \neq 2$): $\det(A) \neq 0$ ? el sistema és SCD.

4. Cas $k = 1$. La matriu ampliada és:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

Amb $F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$ i $F_3 \leftarrow F_3 - F_1$:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

La tercera fila representa $0 = 2$: contradicció. $\text{rg}(A) = 2 \neq 3 = \text{rg}[A \mid B]$ ? el sistema és SI.

5. Cas $k = 2$. La matriu ampliada és:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

Amb $F_2 \leftarrow F_2 - 2F_1$ i $F_3 \leftarrow F_3 - F_1$:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

Intercanviem $F_2 \leftrightarrow F_3$:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\text{rg}(A) = 2 = \text{rg}[A \mid B]$ amb $n = 3$ ? el sistema és SCI (1 paràmetre lliure).

Resultat final:

$\begin{cases} \text{SCD} & \text{si } k \neq 1 \text{ i } k \neq 2 \\ \text{SI} & \text{si } k = 1 \\ \text{SCI} & \text{si } k = 2 \end{cases}$