Senyal a l'enunciat: Et demanen el domini, les asímptotes o ambdós com a primer pas de l'estudi complet. També quan demanen trobar paràmetres perquè una funció tingui una asímptota obliqua concreta.

Domini

El domini és el conjunt de valors de $x$ per als quals l'expressió de $f$ té sentit. Els obstacles habituals:

Els punts exclosos del domini són candidats a asímptota vertical.

Asímptotes verticals (AV)

Per a cada punt $x = a$ exclòs del domini, calcula $\lim_{x \to a} f(x)$:

• Si el límit és $\pm\infty$: AV en $x = a$.
• Si el límit és un nombre finit: discontinuïtat evitable, no hi ha AV.

Calcula els límits laterals ($x \to a^-$ i $x \to a^+$) per indicar cap on tendeix la funció a cada costat.

Asímptotes horitzontals (AH)

Calcula els límits a l'infinit:

$\lim_{x \to +\infty} f(x) \qquad \text{i} \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x).$

Si algun d'aquests límits és un nombre $L$, la recta $y = L$ és AH en aquella direcció. Una funció pot tenir AH diferent en $+\infty$ i en $-\infty$.

?? Si hi ha AH, no hi pot haver AO en la mateixa direcció.

Asímptotes obliqües (AO)

Només existeixen quan no hi ha AH. Es calculen en dos passos:

$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \qquad n = \lim_{x \to \pm\infty}\!\left(f(x) - mx\right).$

Si $m$ i $n$ són finits, la recta $y = mx + n$ és AO. Per a funcions racionals on el grau del numerador és exactament un més que el del denominador, els valors $m$ i $n$ s'obtenen directament per divisió polinòmica.

Talls amb els eixos

• Tall amb l'eix $Y$: avalua $f(0)$, si $0$ pertany al domini.
• Tall amb l'eix $X$: resol $f(x) = 0$ (iguala el numerador a zero en funcions racionals).

Exemple resolt (PAU)

Estudia el domini i les asímptotes de $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$.

Domini: $x - 1 \neq 0 \Rightarrow D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

AV: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$ i $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$. ? AV: $x = 1$.

AH: $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \infty$. ? No hi ha AH.

AO: $m = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2+3}{x(x-1)} = 1$. Divisió: $x^2+3 = (x-1)(x+1)+4$, d'on $f(x) = x+1+\dfrac{4}{x-1}$. ? AO: $y = x+1$.

Talls: $f(0) = -3$ ? tall eix $Y$ en $(0, -3)$. Numerador $x^2+3 > 0$ sempre ? no hi ha tall amb l'eix $X$.