Senyal a l'enunciat: Et demanen calcular $\lim_{x\to a} f(x)$, on $a$ és un nombre concret o $\pm\infty$. De vegades la substitució directa resol el problema; altres vegades apareix una indeterminació que cal treballar abans de concloure.

Primer intent: substitució directa

El límit pregunta cap a quin valor s'acosta $f(x)$ quan $x$ s'aproxima a $a$ sense arribar-hi. El primer intent és sempre substituir $x = a$ directament:

$\lim_{x \to 3}(x^2 + 1) = 3^2 + 1 = 10.$

Si el resultat és un nombre, aquell és el límit. El problema apareix quan la substitució dóna una indeterminació: $0/0$, $\infty/\infty$ o $\infty - \infty$. Aquestes no són el resultat final — són un avís que cal transformar l'expressió.

Indeterminació $0/0$: factorització

Quan numerador i denominador s'anul·len en el mateix punt, comparteixen el factor $(x - a)$. Es factoritza i es cancel·la:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2}(x+2) = 4.$

?? No substituïs directament en la forma indeterminada. Primer factoritza, cancel·la el factor comú i llavors substitueix.

Indeterminació $0/0$ o $\infty/\infty$: regla de L'Hôpital

Si la factorització no funciona (exponencials, logaritmes), es deriven numerador i denominador per separat i es torna a calcular el límit:

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \xrightarrow{\text{H}} \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} \xrightarrow{\text{H}} \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}.$

L'Hôpital només és vàlid per a les formes $0/0$ i $\infty/\infty$. Per a qualsevol altra cal transformar primer.

Indeterminació $\infty - \infty$: conjugat

Quan dues expressions amb arrels tendeixen totes dues a l'infinit, es multiplica i divideix pel conjugat:

$\lim_{x \to +\infty}\!\left(\sqrt{x^2+3x} - x\right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+3x - x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}.$

Dividint numerador i denominador per $x > 0$:

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{\sqrt{1+3/x}+1} = \frac{3}{1+1} = \frac{3}{2}.$

Límits a l'infinit de funcions racionals

Per a una fracció $p(x)/q(x)$ quan $x \to \pm\infty$, el comportament depèn només dels graus:

Exemple:

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 1}{2x^2 + x} = \frac{3}{2} \qquad (\text{graus iguals, quocient de coeficients principals}).$

Exemple resolt (PAU)

Calcula $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2 - 1}$.

Pas 1. Substitució directa: $\frac{1 - 3 + 2}{1 - 1} = \frac{0}{0}$. Indeterminació — cal factoritzar.

Pas 2. Factoritzem numerador: $x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x^2+x-2) = (x-1)(x-1)(x+2) = (x-1)^2(x+2)$.

Factoritzem denominador: $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.

Pas 3. Cancel·lem:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)^2(x+2)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+2)}{x+1} = \frac{0 \cdot 3}{2} = 0.$