Senyal a l'enunciat: Hi ha una figura geomètrica o una situació física amb una restricció, i demanen maximitzar o minimitzar alguna magnitud. La clau: hi ha dues variables relacionades i una funció que cal fer tan gran o tan petita com sigui possible.

Els quatre passos canònics

Aquests quatre passos funcionen per a qualsevol problema d'optimització de la PAU:

Pas 1: Identifica les variables i la restricció

Llegeix l'enunciat i anomena les magnituds rellevants. Normalment hi ha dues variables relacionades per una equació — aquesta equació és la restricció. Escriu-la explícitament.

?? On fallen els estudiants: La restricció és la informació que l'enunciat dona com a "fixa" — "el material disponible és X m²", "el perímetre és P". Identifica-la primer, abans de pensar en el que vols maximitzar.

Pas 2: Escriu la funció objectiu

És la magnitud que vols maximitzar o minimitzar, expressada en termes de les variables. Per exemple: el volum, l'àrea, el cost, el benefici.

Pas 3: Redueix a una sola variable

Usa la restricció per despejar una variable en funció de l'altra i substitueix a la funció objectiu. El resultat és una funció d'una sola variable. Identifica el domini: quins valors de la variable són físicament possibles (positius, acotats, etc.).

Pas 4: Troba el màxim o mínim

1. Deriva la funció objectiu i iguala a zero: $f'(x) = 0$.
2. Resol ? obté els punts crítics.
3. Classifica: amb la segona derivada ($f''(x) < 0$ ? màxim; $f''(x) > 0$ ? mínim) o analitzant el signe de $f'$.
4. Verifica que el punt crític pertany al domini.
5. Calcula les dimensions i el valor òptim.

Exemple resolt: caixa sense tapa (PAU clàssic)

Es vol construir una caixa sense tapa amb base quadrada de costat $x$ i alçada $y$. El material disponible és $12\ \text{m}^2$. Troba les dimensions que maximitzen el volum.

Pas 1 — Restricció (àrea total = 12): la base té àrea $x^2$ i les quatre cares laterals $xy$ cadascuna:

$x^2 + 4xy = 12 \implies y = \frac{12 - x^2}{4x}.$

Pas 2 — Funció objectiu (volum):

$V = x^2 y.$

Pas 3 — Reducció a una variable: substituïm $y$:

$V(x) = x^2 \cdot \frac{12 - x^2}{4x} = \frac{x(12 - x^2)}{4} = 3x - \frac{x^3}{4}.$

Domini: $x > 0$ i $12 - x^2 > 0 \Rightarrow x \in (0, 2\sqrt{3})$.

Pas 4 — Màxim:

$V'(x) = 3 - \frac{3x^2}{4} = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = 2.$

$V''(x) = -\dfrac{3x}{2}$, $V''(2) = -3 < 0$ ? màxim.

Resultat: $x = 2\ \text{m}$, $y = \dfrac{12-4}{8} = 1\ \text{m}$, volum màxim $V = 4\ \text{m}^3$.