Sistemes lineals i mètode de Gauss

Temari

Sistemes 2×2Mètode de GaussClassificació de sistemesDiscussió paramètrica

Senyal a l'enunciat: Tens dos productes, preus, quantitats o mesures

relacionades i l'enunciat demana "trobeu les dues incògnites",

"resoleu el sistema" o "calculeu x i y".

Mètodes directes per a sistemes 2×2

Un sistema de dues equacions amb dues incògnites té la forma:

Hi ha tres mètodes equivalents. Escull el que s'adapti millor als coeficients del problema:

Mètode de substitució

Aïlla una incògnita d'una equació i substitueix a l'altra. Funciona bé quan un

coeficient és 1 o −1.

MATEMÀTIQUES CCSS

Temari

Tots els blocs i temes de l'assignatura

Àlgebra(3 temes)

Funcions i anàlisi(2 temes)

Probabilitat i estadística(4 temes)

Primitives i integrals

Temari

Senyal a l'enunciat: Et demanen calcular una primitiva d'una funció donada, o trobar la primitiva que passa per un punt concret. També quan el problema demana identificar els paràmetres d'una primitiva a partir de la seva forma general.

Què és una primitiva

Una primitiva de $f$ és qualsevol funció $F$ tal que $F'(x) = f(x)$ . Si $F$ és una primitiva de $f$ , llavors $F + C$ també ho és per a qualsevol constant $C$ : totes les primitives d'una funció difereixen sols en una constant.

Quan l'enunciat demana la primitiva que compleix una condició inicial $F(a) = b$ , es calcula primer la primitiva general i després es determina $C$ substituint.

Taula de primitives immediates

$f(x)$	$F(x) = \displaystyle\int f(x)\,dx$
$k$ (constant)	$kx + C$
$x^n$ ( $n \neq -1$ )	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\lvert x\rvert + C$
$\dfrac{1}{ax+b}$	$\dfrac{1}{a}\ln\lvert ax+b\rvert + C$
$e^x$	$e^x + C$
$e^{ax}$	$\dfrac{e^{ax}}{a} + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\dfrac{1}{x^2+1}$	$\arctan x + C$

Combinacions lineals

La integral d'una suma és la suma de les integrals, i les constants multiplicatives surten fora:

$\int\!\left(3x^2 - 2\cos x + e^x\right)dx = x^3 - 2\sin x + e^x + C.$

$\int\!\left(4x^3 - \frac{3}{x} + 2e^{-x}\right)dx = x^4 - 3\ln|x| - 2e^{-x} + C.$

Primitiva amb condició inicial

Exemple. Troba $F(x)$ tal que $F'(x) = 2x + 1$ i $F(2) = 5$ .

Primitiva general: $F(x) = x^2 + x + C$ .

Condició: $F(2) = 4 + 2 + C = 5 \Rightarrow C = -1$ .

Resultat: $F(x) = x^2 + x - 1$ .

?? No oblidis la constant $+C$ fins que la determinis. Ometre-la a la primitiva general i llavors intentar trobar-la és un error d'ordre que genera confusió.