Senyal a l'enunciat: "Calcula l'àrea del triangle de vèrtexs...", "àrea del paral·lelogram format pels vectors...", "àrea de la cara del tetraedre...". La clau és que parla de superfícies, no de distàncies ni de posicions relatives.

L'eina: el producte vectorial (calculat a T1)

En $\mathbb{R}^3$, les àrees es calculen a partir del producte vectorial. Recorda (T1):

$$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}$$

El mòdul del producte vectorial mesura l'àrea del paral·lelogram que formen els dos vectors:

$$|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\sin\theta$$

Àrea del paral·lelogram

Si dos costats consecutius del paral·lelogram són $\vec{u}$ i $\vec{v}$:

$$\boxed{A_{\text{paral·lelogram}} = |\vec{u} \times \vec{v}|}$$

Àrea del triangle

El triangle determinat per dos vectors ocupa exactament la meitat del paral·lelogram que formen. Si els vèrtexs del triangle són $A$, $B$, $C$:

$$\boxed{A_{\text{triangle}} = \frac{1}{2}\,|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|}$$

?? L'únic canvi respecte al paral·lelogram és el factor $\frac{1}{2}$. El càlcul vectorial és idèntic. No s'oblida el factor $\frac{1}{2}$ al triangle.

Quan els dades venen en forma de punts

Construeix sempre els vectors des del mateix vèrtex. Per exemple, des de $A$:

$$\overrightarrow{AB} = B - A, \qquad \overrightarrow{AC} = C - A$$

Si barreges orígens (p. ex. $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{BC}$), el producte vectorial no dona l'àrea correcta.

Exemple resolt

Calcula l'àrea del triangle de vèrtexs $A(1,0,0)$, $B(3,1,0)$, $C(2,2,2)$.

1. Vectors des de $A$:

$$\overrightarrow{AB} = (2,1,0), \qquad \overrightarrow{AC} = (1,2,2)$$

2. Producte vectorial:

$$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&1&0\\1&2&2\end{vmatrix}$$

• $\vec{i}$: $1\cdot2-0\cdot2=2$
• $\vec{j}$ (signe $-$!): $-(2\cdot2-0\cdot1)=-4$
• $\vec{k}$: $2\cdot2-1\cdot1=3$

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (2,-4,3)$

3. Mòdul: $\sqrt{4+16+9}=\sqrt{29}$.

4. Àrea del triangle: $A=\dfrac{1}{2}\sqrt{29}$.

Relació amb la distància punt–recta (T4)

La distància del punt $P$ a la recta $r$ que passa per $A$ amb director $\vec{d}$ és:

$$d(P,r) = \frac{|\overrightarrow{AP}\times\vec{d}|}{|\vec{d}|}$$

Això és equivalent a l'altura del paral·lelogram format per $\overrightarrow{AP}$ i $\vec{d}$, dividida per la base. Les dues fórmules comparteixen la mateixa geometria subjacent.