Senyal a l'enunciat: Et demanen "troba l'equació del pla que passa pels punts...", "pla de vector normal...", o "pla que conté la recta $r$ i el punt $P$". La clau és que sempre necessites construir un vector normal al pla.

Com es determina un pla

En $\mathbb{R}^3$, un pla queda determinat per un punt $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ i un vector normal $\vec{n}=(A,B,C)$. El vector normal és perpendicular al pla — no hi és contingut, sinó perpendicular.

Equació punt-normal

$$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$$

Desenvolupant, s'obté la forma general:

$$Ax + By + Cz + D = 0$$

El vector normal es llegeix directament dels coeficients: $\vec{n} = (A,B,C)$.

Pla pels tres punts $A$, $B$, $C$

Construïm dos vectors continguts en el pla:

$$\overrightarrow{AB} = B - A, \qquad \overrightarrow{AC} = C - A$$

La normal del pla és el seu producte vectorial (càlcul a T1):

$$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$$

Amb aquesta normal i qualsevol dels tres punts ja podem escriure l'equació.

?? Els tres punts han de ser no alineats. Si estan alineats, $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ seran paral·lels i el producte vectorial donarà $\vec{0}$ — cap normal, cap pla.

Pla per un punt i dos vectors directors

Si et donen un punt $P$ i dues direccions $\vec{d_1}$, $\vec{d_2}$ contingudes en el pla:

$$\vec{n} = \vec{d_1} \times \vec{d_2}$$

És el mateix procediment: obtens la normal a partir de dues direccions del pla.

Exemple resolt

Troba l'equació del pla que passa pels punts $A(1,0,2)$, $B(3,-1,1)$, $C(2,2,0)$.

1. Construïm dos vectors del pla des de $A$:

$$\overrightarrow{AB} = (2,-1,-1), \qquad \overrightarrow{AC} = (1,2,-2)$$

2. Calculem la normal $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$:

$$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix}$$

• Component $\vec{i}$: $(-1)(-2) - (-1)(2) = 2 + 2 = 4$
• Component $\vec{j}$ (signe $-$!): $-(2\cdot(-2) - (-1)\cdot1) = -(-4+1) = 3$
• Component $\vec{k}$: $2\cdot2 - (-1)\cdot1 = 4+1 = 5$

Per tant: $\vec{n} = (4,3,5)$.

3. Equació punt-normal amb $A(1,0,2)$:

$$4(x-1) + 3(y-0) + 5(z-2) = 0$$ $$4x - 4 + 3y + 5z - 10 = 0 \implies \boxed{4x + 3y + 5z - 14 = 0}$$

4. Comprovació amb $B(3,-1,1)$: $4\cdot3 + 3\cdot(-1) + 5\cdot1 - 14 = 12-3+5-14 = 0$ ?