Senyal a l'enunciat: "Estudia la posició relativa de les rectes $r$ i $s$", "classifica les rectes", "per a quin valor del paràmetre les rectes es tallen?". Hi ha exactament quatre casos possibles en $\mathbb{R}^3$.

Els quatre casos

En $\mathbb{R}^3$, dues rectes poden ser:

Algorisme de classificació

Pas 1: Compara els vectors directors $\vec{d_1}$ i $\vec{d_2}$

• Si són proporcionals ? les rectes son paral·leles o coincidents:

  • Comprova si un punt de $r$ pertany a $s$
  • Si pertany ? coincidents; si no ? paral·leles

• Si no són proporcionals ? les rectes son secants o creuades:

  • Iguala les coordenades paramètriques i resol el sistema
  • Si el sistema és compatible ? secants (calcula el punt d'intersecció)
  • Si el sistema és incompatible ? creuades

Alternativa: el producte mixt

Si els directors no són proporcionals, una verificació ràpida de si les rectes es tallen és:

$$\det(\vec{d_1},\vec{d_2},\overrightarrow{P_1P_2}) = 0 \iff \text{les rectes es tallen (o paral·leles)}$$

?? Verifica SEMPRE les tres equacions del sistema, no només dues. Un sistema de dues equacions pot ser compatible però la tercera contradiu el resultat. Les rectes creuades apareixen exactament quan les dues primeres equacions donen valors de $\lambda$ i $\mu$ que no satisfan la tercera.

Exemple resolt

Estudia la posició relativa de:

$$r:\begin{cases}x=1+\lambda\\y=\lambda\\z=1+\lambda\end{cases} \qquad s:\begin{cases}x=2+\mu\\y=2-\mu\\z=\mu\end{cases}$$

1. Directors: $\vec{d_r}=(1,1,1)$ i $\vec{d_s}=(1,-1,1)$. No proporcionals (raons: $1, -1, 1$ — no iguals). Per tant no són paral·leles ni coincidents.

2. Igualem coordenades:

• (I): $1+\lambda = 2+\mu \Rightarrow \lambda - \mu = 1$
• (II): $\lambda = 2-\mu \Rightarrow \lambda + \mu = 2$
• (III): $1+\lambda = \mu$

De (I) i (II): sumant ? $2\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = 3/2$, $\mu = 1/2$.

3. Verificació amb (III): $1 + 3/2 = 5/2 \neq 1/2 = \mu$. El sistema és incompatible.

Resultat: Les rectes estan creuades (no paral·leles i sense punt comú).