Senyal a l'enunciat: Apareix quan et donen dos punts i et demanen la recta que hi passa, o quan et donen un punt i un vector director. També quan et demanen canviar d'una forma de la recta a una altra, o quan necessites escriure la recta per operar amb ella en exercicis de posició relativa, distàncies o plans.

Com es determina una recta en $\mathbb{R}^3$

Una recta queda determinada per un punt base $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ i un vector director $\vec{d}=(a,b,c)$. El punt fixa per on passa la recta; el vector director indica cap on avança. Tota la teoria de rectes parteix d'aquesta idea.

Forma vectorial

$$(x,y,z) = (x_0,y_0,z_0) + \lambda(a,b,c), \quad \lambda \in \mathbb{R}$$

Forma paramètrica

$$r:\begin{cases} x = x_0 + a\lambda \\ y = y_0 + b\lambda \\ z = z_0 + c\lambda \end{cases}$$

Aquesta forma és la més operativa: permet substituir, igualar rectes, comprovar pertinença de punts i calcular interseccions.

Forma contínua

$$\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$$

Només és vàlida quan les tres components del director són no nul·les. És compacta i còmoda per llegir ràpidament un punt i un director.

Quan una component del director és zero

?? Error clàssic de PAU: si $\vec{d}=(2,0,-1)$, no pots escriure $\dfrac{y-y_0}{0}$ — no té sentit. Eixa coordenada s'escriu com una igualtat fixa:

$\frac{x-x_0}{2} = \frac{z-z_0}{-1}, \quad y = y_0$

Recta que passa per dos punts

Si et donen els punts $A$ i $B$, el vector director natural és:

$$\vec{d} = \overrightarrow{AB} = B - A$$

Llavors tries qualsevol dels dos punts com a punt base:

$$r:\ (x,y,z) = A + \lambda(B-A)$$

No cal buscar res més: amb dos punts ja tens direcció i pas.

Quan usar cada forma

• Vectorial: per veure clarament el punt base i la direcció
• Paramètrica: per operar, substituir en plans, comparar rectes
• Contínua: per llegir dades ràpidament, no per calcular

En un examen, si et donen una recta en forma contínua i necessites operar, passa-la primer a paramètrica.

Exemple resolt

Troba la recta que passa per $A(2,-1,3)$ i $B(4,1,1)$ i escriu-la en les tres formes.

1. Construïm el vector director:

$$\vec{d} = \overrightarrow{AB} = (4-2,\;1-(-1),\;1-3) = (2,2,-2)$$

Simplifiquem dividint entre $2$: $\vec{d} = (1,1,-1)$.

2. Prenem $A(2,-1,3)$ com a punt base. Forma vectorial:

$$r:\ (x,y,z) = (2,-1,3) + \lambda(1,1,-1)$$

3. Forma paramètrica:

$$r:\begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = 3 - \lambda \end{cases}$$

4. Les tres components del director són no nul·les, per tant existeix la forma contínua:

$$\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-3}{-1}$$

5. Comprovació: per $\lambda=0$ recuperem $A(2,-1,3)$. Per $\lambda=2$: $(4,1,1) = B$ ?