Senyal a l'enunciat: Un experiment bàsic es repeteix $n$ vegades. Cada repetició pot tenir dos resultats: "èxit" o "fracàs". Et demanen la probabilitat que hi hagi exactament $k$ èxits, o almenys/com a màxim $k$ èxits.

Les 4 condicions de la binomial

Perquè una variable segueixi una distribució binomial, cal que es compleixin TOTES QUATRE condicions:

1. Nombre fix de repeticions $n$: L'experiment es repeteix un nombre $n$ determinat i conegut de vegades. "Es seleccionen 10 peces", "es llança 5 vegades una moneda", "s'agafen 20 individus d'una mostra".

2. Cada repetició té dos resultats possibles: "Èxit" (el que comptem) o "fracàs" (el que no comptem). A vegades cal definir tu mateix qui és l'èxit. "Peça defectuosa" o "peça correcta"; "individu compra" o "individu no compra".

3. Les repeticions són independents entre si: El resultat d'una repetició no afecta les probabilitats de les següents. Si l'experiment és "amb reposició" (es torna l'element extret), la independència es garanteix. "Sense reposició" pot trencar la independència si la mostra és petita relativament a la població.

4. La probabilitat $p$ és la mateixa a cada repetició: La probabilitat d'èxit no canvia d'una repetició a l'altra. "La probabilitat de defecte és sempre el 3%", "la probabilitat que un individu compri és sempre el 40%".

Quan es compleixen les quatre condicions, la variable $X$ que compta els èxits segueix una distribució $X \sim B(n, p)$.

Com verificar les condicions en el text

Paraules que indiquen binomial:

• "es repeteix $n$ vegades" ? condició 1
• "independent", "amb reposició", "la mateixa probabilitat cada vegada" ? condicions 3 i 4
• "defectuós/correcte", "aprova/suspèn", "compra/no compra", "positiu/negatiu" ? condició 2

Situacions on NO s'aplica la binomial:

• "Sense reposició" d'una urna petita ? les probabilitats canvien a cada extracció (caldria hipergeomètrica)
• "Fins que ocorri el primer èxit" ? el nombre de repeticions no és fix (caldria geomètrica)
• Més de dos resultats possibles sense agrupar-los ? no és binari

Exemple: verificar les condicions

"D'una fàbrica on el 6% de les peces son defectuoses, se seleccionen 10 peces aleatòriament per inspecció."

• Condició 1: $n = 10$ peces ?
• Condició 2: cada peça és "defectuosa" (èxit) o "correcta" (fracàs) ?
• Condició 3: les peces s'extreuen d'una producció molt gran ? independent ?
• Condició 4: $p = 0{,}06$ per a totes les peces ?

Conclusió: Sí, s'aplica la binomial. $X \sim B(10; 0{,}06)$ on $X$ = nombre de peces defectuoses.

? Nota PAU: Definir explícitament "$X$ = nombre de ..." i escriure "$X \sim B(n, p)$" és el primer pas que el corrector valora. Fes-ho sempre, fins i tot si sembla obvi.