Senyal a l'enunciat: L'enunciat indica que una variable segueix una distribució normal $N(\mu, \sigma)$ i demana calcular una probabilitat, o bé trobar el valor de la variable que correspon a una probabilitat donada.

Què és la distribució normal

La distribució normal $N(\mu, \sigma)$ és un model continu que descriu variables que es distribueixen simètricament al voltant d'un valor central. La seva gràfica té forma de campana de Gauss: la majoria dels valors es concentren prop de la mitjana $\mu$ i la probabilitat decreix a mesura que ens n'allunyem.

Paràmetres:

• $\mu$ (mu): la mitjana — centre de la distribució. Mitjana, mediana i moda coincideixen.
• $\sigma$ (sigma): la desviació típica — controla l'amplada de la campana. $\sigma$ petita ? campana estreta i alta; $\sigma$ gran ? campana ampla i baixa.

Propietats de la campana:

• Simètrica respecte a $\mu$: les probabilitats a la dreta i a l'esquerra de $\mu$ son iguals ($0{,}5$ cada una).
• El 68% dels valors cauen dins de $[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$.
• El 95% cauen dins de $[\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]$.
• El 99,7% cauen dins de $[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$.

La tipificació: per què i com

Treballar directament amb $N(\mu, \sigma)$ requeriria una taula diferent per a cada parella $(\mu, \sigma)$. La solució és tipificar: transformar qualsevol variable $X \sim N(\mu, \sigma)$ en una variable estàndard $Z \sim N(0, 1)$ amb el canvi:

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

Aquesta transformació:

1. Desplaça la distribució per centrar-la a 0 (resta $\mu$).
2. Reescala per tenir desviació típica 1 (divideix per $\sigma$).

Després s'usa una única taula — la de la normal estàndard $N(0,1)$ — per llegir les probabilitats.

Interpretació intuïtiva de $Z$

El valor $Z$ expressa quantes desviacions típiques ens allunyem de la mitjana:

• $Z = 1$ significa "un $\sigma$ per sobre de la mitjana"
• $Z = -1{,}5$ significa "1,5 $\sigma$ per sota de la mitjana"
• $Z = 0$ significa "a la mitjana exacta" ? $P(X < \mu) = 0{,}5$

La taula de la normal estàndard

La taula proporciona $\Phi(z) = P(Z \leq z)$, la probabilitat acumulada fins al valor $z$. Sempre és la probabilitat de la cua esquerra (tots els valors fins a $z$).

Dues propietats essencials:

$\Phi(0) = 0{,}5 \quad \text{(la distribució és simètrica respecte a 0)}$

$\Phi(-z) = 1 - \Phi(z) \quad \text{(simetria: cua esquerra de $-z$ = cua dreta de $z$)}$

Exemple: identificar els paràmetres

"Les notes d'un examen segueixen $N(65, 10)$."

• $\mu = 65$: la nota mitjana és 65 punts.
• $\sigma = 10$: la desviació típica és 10 punts.
• Un estudiant amb nota 75 té $Z = (75 - 65)/10 = 1$ ? està 1 desviació típica per sobre de la mitjana.
• Un estudiant amb nota 50 té $Z = (50 - 65)/10 = -1{,}5$ ? està 1,5 desviacions típiques per sota.