¿Cuándo aparece esto en el examen? El enunciado da un satélite o planeta en órbita circular y pide su energía cinética, potencial o mecánica total. A veces pide verificar la relación entre ellas o calcular una a partir de otra sin pasar por la velocidad.

Las tres energías en órbita circular

Para un cuerpo de masa $m$ en órbita circular de radio $r$ alrededor de una masa central $M$, la velocidad orbital cumple $v^2 = GM/r$. Sustituyendo en las expresiones generales de $E_c$ y $E_p$:

$E_c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\cdot\frac{GM}{r} = \frac{GMm}{2r}$

$E_p = -\frac{GMm}{r}$

$E_{mec} = E_c + E_p = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$

Las tres relaciones juntas, que conviene tener presentes simultáneamente:

$E_{mec} = E_c + E_p = \frac{GMm}{2r} + \left(-\frac{GMm}{r}\right) = -\frac{GMm}{2r}$

De donde se extraen las relaciones entre ellas:

$E_c = -E_{mec} = \frac{GMm}{2r}, \qquad E_p = 2\,E_{mec} = -\frac{GMm}{r}$

Interpretación física

La energía mecánica en órbita ligada es siempre negativa. Cuanto más negativa, más fuertemente ligado está el cuerpo — las órbitas bajas tienen $E_{mec}$ más negativa que las altas. Paradójicamente, al subir a una órbita más alta la $E_{mec}$ aumenta (se hace menos negativa), aunque el satélite vaya más despacio.

Estas relaciones son consecuencia del teorema del virial y sirven como comprobación rápida: si $|E_{mec}| \neq |E_p|/2$, hay un error en el cálculo.

Ejemplo resuelto

La ISS tiene una masa de $4{,}2\cdot10^5$ kg y orbita a 405 km de altura. Calcula su energía cinética, potencial y mecánica total.

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}$ N·m²/kg², $M_T = 5{,}97\cdot10^{24}$ kg, $R_T = 6{,}371\cdot10^6$ m.

1. Radio orbital:

$r = R_T + h = 6{,}371\cdot10^6 + 0{,}405\cdot10^6 = 6{,}776\cdot10^6 \ \text{m}$

2. Energía cinética:

$E_c = \frac{GM_T m}{2r} = \frac{(6{,}67\cdot10^{-11})(5{,}97\cdot10^{24})(4{,}2\cdot10^5)}{2\,(6{,}776\cdot10^6)} \approx 1{,}23\cdot10^{13} \ \text{J}$

3. Energía potencial:

$E_p = -\frac{GM_T m}{r} = -2\,E_c \approx -2{,}47\cdot10^{13} \ \text{J}$

4. Energía mecánica total:

$E_{mec} = E_c + E_p = 1{,}23\cdot10^{13} - 2{,}47\cdot10^{13} \approx -1{,}24\cdot10^{13} \ \text{J}$

Verificación: $E_{mec} = -E_c = -1{,}23\cdot10^{13}$ J ✓ (salvo redondeo).

Errores frecuentes

Olvidar el signo negativo de $E_p$ y $E_{mec}$. Ambas son negativas en órbita ligada. Un $E_{mec}$ positivo indicaría que el cuerpo no está ligado, lo cual es incompatible con una órbita circular.

Confundir la relación $E_{mec} = E_p/2$. Con los signos: si $E_{mec} = -5\cdot10^{10}$ J entonces $E_p = 2\,E_{mec} = -10^{11}$ J y $E_c = -E_{mec} = +5\cdot10^{10}$ J.

Calcular $v$ para luego obtener $E_c = \frac{1}{2}mv^2$ cuando ya se conoce $r$. Es más directo usar $E_c = GMm/2r$. El camino más largo introduce más posibilidades de error aritmético.