¿Cuándo aparece esto en el examen? El enunciado describe una órbita elíptica con datos de distancia y velocidad en el perihelio o el afelio, y pide calcular la velocidad o la distancia en el otro extremo. También aparece como pregunta teórica pidiendo enunciar las leyes.

1ª ley — Ley de las órbitas

Cada planeta describe una elipse alrededor del Sol, que ocupa uno de los dos focos. Es una ley geométrica: describe la forma de la trayectoria, no la velocidad ni el tiempo.

Los dos puntos extremos de la órbita elíptica tienen nombres propios. El perihelio es el punto más cercano al foco ocupado por el Sol (distancia mínima $r_p$); el afelio es el más lejano (distancia máxima $r_a$). Para satélites terrestres se denominan perigeo y apogeo respectivamente.

El semieje mayor $a$ de la elipse es la semisuma de las dos distancias extremas:

$a = \frac{r_p + r_a}{2}$

Las órbitas circulares son un caso particular de elipse con $r_p = r_a = r$ y excentricidad cero.

2ª ley — Ley de las áreas

El radio vector que une el Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Su consecuencia directa: el planeta se mueve más rápido en el perihelio (más cerca del Sol) y más despacio en el afelio (más lejos).

Esta ley es matemáticamente equivalente a la conservación del momento angular. En los dos puntos extremos de la órbita — perihelio y afelio — la velocidad es perpendicular al radio vector, lo que simplifica la expresión del momento angular a:

$L = m v_p r_p = m v_a r_a$

La masa $m$ se cancela y queda la expresión operativa:

$v_p \cdot r_p = v_a \cdot r_a$

Dados tres de los cuatro valores, el cuarto se despeja directamente.

Ejemplo resuelto

Un cometa tiene una órbita elíptica alrededor del Sol. En el perihelio está a $r_p = 8{,}0\cdot10^{10}$ m y su velocidad es $v_p = 54{,}0\cdot10^3$ m/s. En el afelio está a $r_a = 6{,}0\cdot10^{12}$ m. Calcula la velocidad en el afelio y el semieje mayor de la órbita.

1. Aplicamos la conservación del momento angular:

$v_a = \frac{v_p \cdot r_p}{r_a} = \frac{(54{,}0\cdot10^3)(8{,}0\cdot10^{10})}{6{,}0\cdot10^{12}} = \frac{4{,}32\cdot10^{15}}{6{,}0\cdot10^{12}} = 720 \ \frac{\text{m}}{\text{s}}$

2. Semieje mayor:

$a = \frac{r_p + r_a}{2} = \frac{8{,}0\cdot10^{10} + 6{,}0\cdot10^{12}}{2} = \frac{6{,}08\cdot10^{12}}{2} \approx 3{,}04\cdot10^{12} \ \text{m}$

El cometa va 75 veces más rápido en el perihelio que en el afelio, coherente con que el afelio está exactamente 75 veces más lejos ($r_a/r_p = 6{,}0\cdot10^{12}/8{,}0\cdot10^{10} = 75$). ✓

Errores frecuentes

Aplicar $v_p r_p = v_a r_a$ en puntos que no son los extremos. Esta relación simplificada solo es válida en perihelio y afelio, donde la velocidad es estrictamente perpendicular al radio vector. En puntos intermedios hay que usar la expresión vectorial completa del momento angular.

Confundir perihelio con afelio. El perihelio es el más cercano (mayor velocidad); el afelio el más lejano (menor velocidad). Si el resultado da mayor velocidad en el afelio, hay un error en el planteamiento.

Usar el semieje mayor $a$ en lugar de $r_p$ o $r_a$ en la conservación de momento angular. La ley de áreas usa las distancias reales en cada punto, no el semieje.