¿Cuándo aparece esto en el examen? Te dan la ecuación del movimiento de un oscilador o sus condiciones iniciales y piden la posición, velocidad o aceleración en un instante dado, o piden interpretar los parámetros de la ecuación.

La ecuación del movimiento

El MAS es el movimiento de una partícula cuya aceleración es proporcional al desplazamiento y de sentido contrario. La solución general puede escribirse con coseno o con seno — ambas son igualmente válidas y la elección depende de las condiciones iniciales:

$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0) \qquad \text{o} \qquad x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$

donde $A$ es la amplitud (desplazamiento máximo, siempre positivo), $\omega$ es la frecuencia angular en rad/s, y $\varphi_0$ es la fase inicial que fija la posición en $t = 0$.

Velocidad y aceleración

Derivando la posición respecto al tiempo (usando la forma coseno):

$v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \varphi_0)$

$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x(t)$

La relación $a = -\omega^2 x$ es la definición del MAS: la aceleración es siempre proporcional al desplazamiento y apunta hacia el equilibrio. Los valores máximos son:

$v_{max} = A\omega \qquad a_{max} = A\omega^2$

La velocidad es máxima cuando $x = 0$ (equilibrio) y nula en $x = \pm A$ (extremos). La aceleración es máxima en los extremos y nula en el equilibrio.

Condiciones iniciales y elección de la función

La elección entre seno y coseno — y el valor de $\varphi_0$ — se determina a partir del estado en $t = 0$:

• Partícula en el extremo positivo: $x(0) = A$, $v(0) = 0$ → usar $x = A\cos(\omega t)$.
• Partícula en el equilibrio moviéndose en sentido positivo: $x(0) = 0$, $v(0) > 0$ → usar $x = A\sin(\omega t)$.
• Partícula en el extremo negativo: $x(0) = -A$, $v(0) = 0$ → usar $x = -A\cos(\omega t)$ o $x = A\cos(\omega t + \pi)$.

En general, si se parte de una posición arbitraria $x_0$ con velocidad $v_0$, se puede usar la forma coseno con $A = \sqrt{x_0^2 + (v_0/\omega)^2}$ y $\varphi_0 = \arctan(-v_0/(\omega x_0))$.

📐 Diagrama: tres gráficas superpuestas en función del tiempo. $x(t)$ en azul (coseno), $v(t)$ en verde (seno negativo, desfasado $\pi/2$ respecto a $x$), $a(t)$ en rojo (coseno negativo, en oposición de fase con $x$). Amplitudes $A$, $A\omega$ y $A\omega^2$ marcadas en el eje vertical. Líneas verticales punteadas señalando los instantes donde $v = 0$ (extremos de $x$) y donde $|v| = v_{max}$ (cruces por cero de $x$).

Errores frecuentes

Confundir el desfase entre $x$ y $v$. La velocidad siempre va desfasada $\pi/2$ por delante respecto a la posición. Si $x = A\cos(\omega t)$ entonces $v = -A\omega\sin(\omega t)$, no $+A\omega\sin(\omega t)$.

Olvidar el signo negativo en $a = -\omega^2 x$. La aceleración siempre apunta hacia el equilibrio: si $x > 0$, $a < 0$, y viceversa.

Usar $v_{max} = A/\omega$ en lugar de $v_{max} = A\omega$. La velocidad máxima crece con $\omega$: oscilar más rápido implica mayor velocidad máxima para la misma amplitud.