Senyal a l'enunciat: Et donen una o diverses matrius i et pregunten sobre la seva forma, tipus o igualtat. Sovint apareix com a context inicial de l'exercici: "donada la matriu $A$ de tipus $m \times n$...". Necessites identificar immediatament l'ordre i el tipus.

Definicions bàsiques

Una matriu és una taula rectangular de nombres ordenats en $m$ files i $n$ columnes. L'element de la fila $i$ i la columna $j$ s'escriu $a_{ij}$.

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} \quad \text{(matriu } 2 \times 3\text{)}$

L'ordre (o tipus) d'una matriu és el parell $m \times n$: primer les files, després les columnes.

Matrius especials

La transposada

La transposada $A^T$ d'una matriu $A$ de tipus $m \times n$ és la matriu de tipus $n \times m$ obtinguda convertint cada fila de $A$ en una columna:

$(A^T)_{ij} = a_{ji}$

Exemple: Si $A = \begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}$ ($2\times3$), llavors $A^T = \begin{pmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{pmatrix}$ ($3\times2$).

Propietat útil: $(A^T)^T = A$ i $(AB)^T = B^T A^T$ (l'ordre s'inverteix).

Igualtat de matrius

Dues matrius $A$ i $B$ són iguals ($A = B$) si i només si:

1. Tenen el mateix ordre ($m \times n$).
2. Cada element corresponent és igual: $a_{ij} = b_{ij}$ per a tots $i, j$.

Quan l'enunciat diu "$A = B$ on algun element conté un paràmetre", s'imposa la igualtat element a element i es resol el sistema d'equacions resultant.

Exemple: Si $\begin{pmatrix}x+y&2\\3&x-y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5&2\\3&1\end{pmatrix}$, llavors:

• $x + y = 5$
• $x - y = 1$

Resolent: $x = 3$, $y = 2$.