Senyal a l'enunciat: "Es llança una moneda $n$ vegades", "la probabilitat d'èxit és $p$ en cada intent", "quina és la probabilitat d'obtenir exactament $k$ èxits?". Tots aquests indiquen distribució binomial $B(n, p)$.

Les 4 condicions de la binomial

Un experiment segueix una distribució binomial $B(n, p)$ quan:

1. $n$ proves independents (el resultat d'una no afecta les altres).
2. Cada prova té exactament 2 resultats possibles: èxit o fracàs.
3. La probabilitat d'èxit $p$ és constant a cada prova.
4. Es compta el nombre total d'èxits $X$ entre les $n$ proves.

Fórmula

La probabilitat d'obtenir exactament $k$ èxits en $n$ proves és:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$

On $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ és el nombre de combinacions.

Esperança (valor esperat): $E(X) = np$.

"Almenys un" — usa el complementari

Per a $P(X \geq 1)$ és sempre més eficient:

$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n$

De la binomial a la normal

Quan $n$ és gran i $p$ no és gaire extrem ($np \geq 5$ i $n(1-p) \geq 5$), la binomial s'aproxima per: $X \sim B(n, p) \approx N(np,\ \sqrt{np(1-p)})$

Aquesta aproximació apareix als problemes de B4.T3 on es combinen les dues distribucions.

Exemple resolt 1: probabilitat exacta

Un examen de 10 preguntes tipus test té 4 opcions per pregunta. Un alumne respon a l'atzar. Quina és la probabilitat d'encertar exactament 3 preguntes?

Model: $n = 10$, $p = 1/4 = 0{,}25$, $X \sim B(10, 0{,}25)$.

$P(X = 3) = \binom{10}{3}(0{,}25)^3(0{,}75)^7 = 120 \cdot 0{,}015625 \cdot 0{,}1335 \approx 0{,}2503$

Exemple resolt 2: "almenys un"

Una màquina produeix peces defectuoses amb probabilitat 0,1. Es fabriquen 5 peces. Quina és la probabilitat que almenys una sigui defectuosa?

Model: $n = 5$, $p = 0{,}1$.

$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (0{,}9)^5 = 1 - 0{,}59049 = 0{,}41$