Senyal a l'enunciat: Tens una urna, un experiment aleatori o un grup de persones. L'enunciat dona fraccions o percentatges i demana $P(A)$, $P(A \cup B)$ o $P(\overline{A})$. Si tots els resultats son igualment probables, és Laplace.

Conceptes bàsics

L'espai mostral $\Omega$ és el conjunt de tots els resultats possibles d'un experiment. Un succés $A$ és qualsevol subconjunt de $\Omega$.

Operacions:

• Unió $A \cup B$: ocorre $A$, $B$ o tots dos.
• Intersecció $A \cap B$: ocorren $A$ i $B$ simultàniament.
• Complementari $\overline{A}$: no ocorre $A$. Sempre: $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.

Dos successos $A$ i $B$ son incompatibles si $A \cap B = \emptyset$ — no poden ocórrer alhora.

Regla de Laplace — quan usar-la

La regla de Laplace s'aplica únicament en experiments equiprobables: tots els resultats de $\Omega$ tenen exactament la mateixa probabilitat.

$P(A) = \frac{\text{casos favorables a } A}{\text{casos totals}}$

Exemples d'experiments equiprobables: llançar un dau equilibrat, extreure una carta d'una baralla ben barrejada, triar un alumne a l'atzar d'un grup.

Exemples on NO aplica Laplace: una fàbrica produeix el 60% de peces bones (no tots els resultats son equiprobables), una ruleta trucada.

Fórmula de la unió

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Si $A$ i $B$ son incompatibles: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Complementari i "almenys un"

Per a "almenys un èxit" és sempre més eficient el complementari: $P(\text{almenys un}) = 1 - P(\text{cap})$

Exemple resolt

En un grup de 50 estudiants, 30 estudien Matemàtiques ($M$), 20 estudien Física ($F$) i 10 estudien els dos. Probabilitat d'un estudiant triat a l'atzar que estudiï almenys una de les dues:

$P(M) = 30/50 = 0{,}6, \quad P(F) = 20/50 = 0{,}4, \quad P(M \cap F) = 10/50 = 0{,}2$

$P(M \cup F) = 0{,}6 + 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}8$