Senyal a l'enunciat: Hi ha diverses causes o grups (fàbriques, màquines, poblacions) i et demanen la probabilitat global d'un efecte. L'enunciat dona probabilitats de pertànyer a cada grup i probabilitats condicionades per a cada grup.

Partició de l'espai mostral

Un conjunt $\{H_1, H_2, \ldots, H_n\}$ és una partició si:

• Son mútuament excloents: $H_i \cap H_j = \emptyset$ per a $i \neq j$.
• Son exhaustius: $H_1 \cup \cdots \cup H_n = \Omega$.
• $P(H_i) > 0$ per a tot $i$.

Verificació: les probabilitats de les causes han de sumar 1. Si $P(H_1) + P(H_2) = 0{,}7 + 0{,}3 = 1$ ✓.

Fórmula de la probabilitat total

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i) \cdot P(A \mid H_i)$

Procediment: del text a la fórmula

Pas 1. Identifica i escriu les causes $H_i$ amb les seves probabilitats $P(H_i)$.

Pas 2. Escriu les probabilitats condicionades $P(A \mid H_i)$ per a cada causa.

Pas 3. Verifica $\sum P(H_i) = 1$.

Pas 4. Aplica la fórmula.

Exemple resolt

En una empresa, el 60% de les peces vénen de la fàbrica A (taxa de defecte 2%) i el 40% de la fàbrica B (taxa de defecte 5%). Probabilitat que una peça triada a l'atzar sigui defectuosa:

Dades: $P(A) = 0{,}60, \quad P(B) = 0{,}40$ $P(D \mid A) = 0{,}02, \quad P(D \mid B) = 0{,}05$

Verificació: $0{,}60 + 0{,}40 = 1$ ✓

Càlcul: $P(D) = 0{,}60 \cdot 0{,}02 + 0{,}40 \cdot 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032$

Resultat: La probabilitat de defecte és $3{,}2\%$.