Senyal a l'enunciat: Et demanen "comproveu que la matriu $A$ és idempotent", "demostreu que $A^2 = kI$", "verifiqueu que $A^2 = A$", o el problema dona una matriu amb paràmetre i demana "per a quins valors $A$ és idempotent". La idempotència és la propietat més freqüent a la PAU Catalunya.

Les tres propietats

Idempotent: $A^2 = A$

Una matriu és idempotent si el quadrat coincideix amb la matriu original. La verificació és directa: calcular $A^2$ i comparar amb $A$.

Conseqüències útils:

• $A(A - I) = 0$ (el producte no implica que $A = 0$ o $A = I$ — el producte de no-zeros pot ser zero en àlgebra matricial)
• Si $A$ és idempotent i invertible → $A = I$ (perquè $A \cdot A = A \cdot I \Rightarrow A = I$ al multiplicar per $A^{-1}$)
• $\det(A) = 0$ o $\det(A) = 1$ per a matrius idempotents

Nilpotent: $A^k = 0$ per a algun $k$

Una matriu és nilpotent si alguna potència seva és la matriu zero. El cas més freqüent a la PAU és $A^2 = 0$. Conseqüència: $\det(A) = 0$ sempre (una matriu nilpotent no és mai invertible).

Involutiva: $A^2 = I$

Una matriu és involutiva si el seu quadrat és la matriu identitat. Conseqüència: $A = A^{-1}$ (la matriu és la seva pròpia inversa). Útil per simplificar equacions matricials: si $A^2 = I$, aleshores $A^{-1} = A$.

Procediment de verificació

1. Calcula $A^2 = A \cdot A$ (o $A^k$ si cal).
2. Compara amb $A$ (idempotent), amb $0$ (nilpotent) o amb $I$ (involutiva).
3. Si hi ha un paràmetre, iguala element a element per trobar els valors del paràmetre que satisfan la propietat.
4. Menciona les conseqüències rellevants per al problema (invertibilitat, forma de la inversa, etc.).

$A(A - I) = 0$ NO implica $A = 0$ ni $A = I$. En àlgebra matricial, el producte de dues matrius no nul·les pot ser zero. Aquest és un dels errors conceptuals més freqüents quan es treballa amb idempotència.

Exemple resolt — verificar idempotència

Comprova que la matriu és idempotent:

$A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

1. Calculem $A^2$:

$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-2 & -4+2 \\ 2-1 & -2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

2. Comparem: $A^2 = A$. La matriu és idempotent. ✓

3. Conseqüències: $\det(A) = (2)(-1) - (-2)(1) = -2 + 2 = 0$. Com que $A$ és idempotent i $\det(A) = 0$, la matriu és singular (no invertible). ✓

Exemple resolt — trobar paràmetre per a idempotència

Determina el valor de $a$ perquè la matriu sigui idempotent:

$A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & 1-a \end{pmatrix}$

1. Calculem $A^2$:

$A^2 = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & 1-a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & 1-a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & a + (1-a) \\ 0 & (1-a)^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 1 \\ 0 & (1-a)^2 \end{pmatrix}$

2. Imposem $A^2 = A$ igualant element a element:

• Posició $(1,1)$: $a^2 = a \Rightarrow a(a-1) = 0 \Rightarrow a = 0$ o $a = 1$.
• Posició $(1,2)$: $1 = 1$ ✓ (sempre satisfeta).
• Posició $(2,2)$: $(1-a)^2 = 1-a \Rightarrow (1-a)(1-a-1) = 0 \Rightarrow (1-a)(-a) = 0 \Rightarrow a = 0$ o $a = 1$.

3. Les dues condicions coincideixen. Per a $a = 0$: $A = \begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}$; per a $a = 1$: $A = \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$. En tots dos casos $A$ és idempotent.