Senyal a l'enunciat: Qualsevol exercici de B3 requereix derivar en algun moment. Aquí tens totes les eines per derivar qualsevol funció que aparegui a la PAU.

Derivades elementals

Regla del producte i del quocient

Per a un producte $u \cdot v$ i un quocient $u/v$:

$(u \cdot v)' = u'v + uv', \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}.$

?? El quocient no és simètric. L'ordre importa: "derivada del numerador per denominador, menys numerador per derivada del denominador, tot dividit pel denominador al quadrat".

Exemple — producte: $(x^2 \cdot e^x)' = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x = e^x(2x + x^2)$.

Exemple — quocient: $\left(\dfrac{x^2+1}{x-1}\right)' = \dfrac{2x(x-1) - (x^2+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$.

Regla de la cadena

Per a una funció composta $f(g(x))$:

$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x).$

La idea: deriva de fora cap endins i multiplica per la derivada del que hi ha dins.

Exemples fonamentals amb la regla de la cadena

Potència d'una funció $[f(x)]^n$:

$[(x^2+1)^3]' = 3(x^2+1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2+1)^2.$

$[(2x-5)^4]' = 4(2x-5)^3 \cdot 2 = 8(2x-5)^3.$

Exponencial d'una funció $e^{f(x)}$:

$[e^{x^2}]' = e^{x^2} \cdot 2x.$

$[e^{3x^2+1}]' = e^{3x^2+1} \cdot 6x.$

$[e^{\sin x}]' = e^{\sin x} \cdot \cos x.$

Logaritme d'una funció $\ln(f(x))$:

$[\ln(x^2+1)]' = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}.$

$[\ln(2x+1)]' = \frac{1}{2x+1} \cdot 2 = \frac{2}{2x+1}.$

$[\ln(\sin x)]' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x.$

Composicions múltiples:

$[\ln(e^x + 1)]' = \frac{1}{e^x+1} \cdot e^x = \frac{e^x}{e^x+1}.$

$[e^{\sqrt{x}}]' = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}.$

Exemple resolt (PAU)

Calcula la derivada de $f(x) = \dfrac{e^{2x}}{x^2 + 1}$.

Apliquem la regla del quocient amb $u = e^{2x}$ i $v = x^2+1$:

• $u' = 2e^{2x}$ (regla de la cadena)
• $v' = 2x$

$f'(x) = \frac{2e^{2x}(x^2+1) - e^{2x} \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{e^{2x}(2x^2 + 2 - 2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2e^{2x}(x^2 - x + 1)}{(x^2+1)^2}.$