Senyal a l'enunciat: "Calcula la distància del punt $P$ al pla $\pi$", "troba el peu de la perpendicular", "punt simètric de $P$ respecte al pla $\pi$". La idea central és sempre la mateixa: la distància mínima s'obté a través de la perpendicular al pla.

Fórmula de la distància punt–pla

Si el punt és $P(x_0,y_0,z_0)$ i el pla és $\pi: ax+by+cz+d=0$:

$$\boxed{d(P,\pi) = \frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$$

El denominador és el mòdul del vector normal $\vec{n}=(a,b,c)$. El numerador mesura quant "s'allunya" el punt de l'equació del pla.

?? El valor absolut al numerador és obligatori. La distància no pot ser negativa. El signe del numerador sense valor absolut indicaria de quin costat del pla és el punt, no una distància.

Peu de la perpendicular

El peu $F$ és el punt del pla més proper a $P$. Per trobar-lo:

1. Escriu la recta perpendicular al pla que passa per $P$ (el seu director és la normal del pla):

$$r:\begin{cases}x=x_0+a\lambda\\y=y_0+b\lambda\\z=z_0+c\lambda\end{cases}$$

2. Substitueix les paramétriques de $r$ a l'equació del pla
3. Resol per $\lambda$ ? obté el valor $\lambda_0$ que porta al peu
4. Substitueix $\lambda_0$ a la recta ? coordenades de $F$

Punt simètric respecte al pla

Si $F$ és el peu de la perpendicular des de $P$ al pla, el simètric $P'$ és aquell punt tal que $F$ és el punt mig de $PP'$. Això dona:

$$\boxed{P' = 2F - P}$$

Aquesta fórmula unifica totes les simetries de la geometria 3D. Recorda-la bé.

Exemple resolt

Donat $P(1,-1,2)$ i $\pi: 2x-y+2z-4=0$, calcula la distància, el peu i el simètric.

1. Distància:

$$d(P,\pi) = \frac{|2\cdot1+(-1)\cdot(-1)+2\cdot2-4|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{|2+1+4-4|}{\sqrt{9}} = \frac{3}{3} = 1$$

2. Peu de la perpendicular. Vector normal: $\vec{n}=(2,-1,2)$. Recta perpendicular per $P$:

$$r:\begin{cases}x=1+2\lambda\\y=-1-\lambda\\z=2+2\lambda\end{cases}$$

Substituïm a $\pi$:

$$2(1+2\lambda)-(-1-\lambda)+2(2+2\lambda)-4=0$$ $$2+4\lambda+1+\lambda+4+4\lambda-4=0 \implies 3+9\lambda=0 \implies \lambda=-\frac{1}{3}$$

3. Peu $F$:

$$F=\left(1-\frac{2}{3},\;-1+\frac{1}{3},\;2-\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right)$$

4. Simètric:

$$P' = 2F - P = \left(\frac{2}{3},-\frac{4}{3},\frac{8}{3}\right) - (1,-1,2) = \left(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$$