Senyal a l'enunciat: Tens una urna, una extracció o un experiment aleatori. Et demanen $P(A)$, $P(A \cup B)$, $P(\overline{A})$, o bé el problema és d'atzar equiprobable (daus, cartes, boles en una urna).

L'espai mostral i els successos

L'espai mostral $\Omega$ és el conjunt de tots els resultats possibles d'un experiment. Un succés és qualsevol subconjunt de $\Omega$. Es combinen amb les operacions habituals de conjunts:

• Unió $A \cup B$: ocorre $A$, o $B$, o tots dos.
• Intersecció $A \cap B$: ocorren $A$ i $B$ simultàniament.
• Complementari $\overline{A}$: no ocorre $A$.

Dos successos $A$ i $B$ són incompatibles (o mútuament excloents) si $A \cap B = \emptyset$ — no poden ocórrer alhora. En una roda de la fortuna, "sortir número parell" i "sortir número imparell" son incompatibles.

Regla de Laplace

En espais equiprobables —tots els resultats tenen la mateixa probabilitat—, la probabilitat d'un succés és:

$P(A) = \frac{\text{casos favorables a }A}{\text{casos possibles totals}}$

Per comptar els casos, de vegades n'hi ha prou amb enumerar; altres cops cal usar combinatòria (veure la secció corresponent).

Probabilitat del complementari

$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$

És especialment útil quan el problema demana "almenys un": és més eficient calcular la probabilitat que no ocorri cap i restar d'1. "La probabilitat que almenys una peça sigui defectuosa" = $1 - P(\text{cap peça defectuosa})$.

Probabilitat de la unió

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Si $A$ i $B$ són incompatibles ($A \cap B = \emptyset$), el terme de la intersecció desapareix:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

?? Error clàssic: Sumar $P(A) + P(B)$ directament sense restar $P(A \cap B)$ quan els successos no són incompatibles. Si $A$ i $B$ es solapen, estàs comptant la zona d'intersecció dues vegades.

Exemple resolt

En una enquesta a 1000 persones: 600 compren cafè torrefacte ($T$), 350 cafè natural ($N$) i 200 els dos tipus. Probabilitat que un individu triat a l'atzar compri algun dels dos:

1. Identifiquem: $P(T) = 600/1000 = 0{,}6$, $P(N) = 350/1000 = 0{,}35$, $P(T \cap N) = 200/1000 = 0{,}2$.

2. Apliquem la fórmula de la unió:

$P(T \cup N) = 0{,}6 + 0{,}35 - 0{,}2 = 0{,}75$

Resultat: La probabilitat que compri almenys un dels dos tipus és $0{,}75$.