Senyal a l'enunciat: Hi ha diverses causes o grups (fàbriques, urnes, poblacions) i et demanen la probabilitat d'un efecte tenint en compte totes les causes possibles. La senyal és que l'enunciat dona probabilitats condicionades per a cada grup i les probabilitats de pertànyer a cada grup.

L'arquitectura del problema

Els problemes de probabilitat total sempre tenen la mateixa estructura: hi ha diverses causes que particionan l'espai mostral, i un efecte que pot produir-se procedint de qualsevol d'elles. La pregunta és quina és la probabilitat global de l'efecte, ponderant cada causa pel seu pes.

Partició de l'espai mostral

Un conjunt de successos $\{H_1, H_2, \ldots, H_n\}$ és una partició de $\Omega$ si:

• Són mútuament excloents: $H_i \cap H_j = \emptyset$ per a $i \neq j$
• Són exhaustius: $H_1 \cup H_2 \cup \cdots \cup H_n = \Omega$
• Tots tenen probabilitat positiva: $P(H_i) > 0$

A la PAU, sol haver-hi dues o tres causes les probabilitats de les quals sumen 1.

Fórmula de la probabilitat total

$P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i) \cdot P(A \mid H_i)$

Cada sumand és la probabilitat de la causa $H_i$ multiplicada per la probabilitat de l'efecte $A$ donat que la causa va ser $H_i$.

Com construir l'arbre i llegir-lo

L'arbre és la representació visual d'aquesta fórmula:

          P(A|H1)   ? A      Camí 1: P(H1)·P(A|H1)
  P(H1)  /
H1 ------
          1-P(A|H1) ? A     Camí 2: P(H1)·(1-P(A|H1))

          P(A|H2)   ? A      Camí 3: P(H2)·P(A|H2)
  P(H2)  /
H2 ------
          1-P(A|H2) ? A     Camí 4: P(H2)·(1-P(A|H2))

P(A) = suma de tots els camins que arriben a A = Camí 1 + Camí 3.

Exemple resolt (el problema clàssic de la fàbrica)

En una fàbrica, el 60% de les peces vénen d'Espanya (taxa de defecte 1%), el 25% de França (taxa 0,5%) i el 15% de Portugal (taxa 2%). Probabilitat que una peça triada a l'atzar sigui defectuosa.

Pas 1 — Identifica les dades i escriu-les explícitament:

$P(E) = 0{,}60, \quad P(F) = 0{,}25, \quad P(P) = 0{,}15$ $P(D \mid E) = 0{,}01, \quad P(D \mid F) = 0{,}005, \quad P(D \mid P) = 0{,}02$

Verifica: $0{,}60 + 0{,}25 + 0{,}15 = 1$ ? (partició vàlida)

Pas 2 — Aplica la fórmula:

$P(D) = P(E) \cdot P(D \mid E) + P(F) \cdot P(D \mid F) + P(P) \cdot P(D \mid P)$

$P(D) = 0{,}60 \cdot 0{,}01 + 0{,}25 \cdot 0{,}005 + 0{,}15 \cdot 0{,}02$

$P(D) = 0{,}006 + 0{,}00125 + 0{,}003 = 0{,}01025$

Resultat: La probabilitat de defecte és $\approx 1{,}025\%$.